Rémi Brissiaud
Un débat qui avance (en dépit des apparences)
Le texte que le Café pédagogique a bien voulu
mettre en ligne début juin a déjà
suscité quelques réactions dont celles de
David Lefèvre, Roland Charnay et Joël Briand,
qui, elles aussi, ont été mises en ligne sur
le Café. Ces réactions sont très
différentes. La première souligne que
l'article est "long et passionnant" et l'auteur y dit
d'emblée que ses points d'accord sont très
nombreux. Il n'en exprime pas moins de sérieuses
réserves quant à la façon dont,
à la fin du texte, j'ai parlé des
situations-problèmes et des problèmes de
recherche. J'ai vraisemblablement abordé trop
brièvement ce sujet et je le ferai plus longuement
ici.
Les deux autres textes, en revanche, sont essentiellement
critiques. Mais, surtout, le ton en est vif. De
manière évidente, Roland Charnay et Joël
Briand auraient préféré que mon texte
ne comporte aucune critique des programmes actuels et de
leurs documents annexes. J'avais pourtant, il me semble,
adopté une attitude pondérée.
Conscient des dangers de la conjoncture actuelle, j'ai
assorti mon propos d'un appel à la prudence en
disant : "qu'il ne convient pas de condamner et de
bouleverser les pratiques pédagogiques
actuelles". Concernant la division et les fractions,
j'indiquais explicitement que le problème principal
se situe dans la lecture "officielle" des programmes telle
qu'elle ressort des "documents d'application", alors que
d'autres lectures sont licites. Par ailleurs, à
aucun moment, je n'appelle à une révision
immédiate des programmes, préférant
dire : " … on voit assez bien ce que pourrait
apporter une amélioration des programmes et il faut
favoriser une démarche sereine d'élaboration
de ces futurs programmes". J'appelle plutôt, dans
cette perspective, à "favoriser le
débat", à " confronter les points de
vue " et à "prendre le temps
nécessaire". Malgré cette
pondération, la fin de mon texte a conduit Roland
Charnay et Joël Briand à écrire des
réponses dont le ton n'est pas feutré.
À la lecture de leurs textes, il est vraisemblable
qu'un grand nombre de personnes ont pu douter que le
débat soit serein et fructueux comme je l'avais
espéré.
En fait, au-delà de leur forme, les textes de Roland
Charnay et Joël Briand comportent, comme celui de
David Lefèvre, certaines analyses précises et
il me semble que, contre l'apparence, le débat
progresse. C'est ce que j'essaierai de montrer ici. Mais
auparavant, il me faut rappeler que l'objectif premier de
mon texte précédent était de montrer
que, concernant le calcul et la résolution de
problèmes, il n'y a pas de paradis
pédagogique perdu. Je voudrais aussi souligner que
je me suis efforcé d'argumenter "en héritier
de la réforme de 1970".
Débattre en héritiers de la réforme de
1970
Roland Charnay et Joël Briand se sont
focalisés sur la partie finale de mon texte,
celle qui est critique vis-à-vis de certains
aspects des programmes actuels et de leurs documents
annexes. Or, plus d'un tiers de ce texte (10 pages sur
28 dans la version imprimable) est consacré
à une analyse des progressions
pédagogiques concernant la division qui ont
prévalu de 1945 à 1970. En
rédigeant cette partie, je souhaitais prendre au
sérieux l'idée d'un éventuel retour
à l'enseignement de la division et de son
formalisme dès le CP, analyser comment
progressaient les élèves qui, à
l'époque " s'en sortaient " et expliquer pourquoi
certains choix pédagogiques (celui d'assimiler
sur une longue durée la division au partage,
celui d'enseigner la résolution de
problèmes à partir de " résolutions
types ", par exemple) faisaient en réalité
obstacle au progrès des autres
élèves sur le long terme. Dans la suite du
texte, j'ai essayé de montrer qu'il existe
aujourd'hui des progressions qui se fondent sur une
analyse critique des pratiques antérieures
à 1970 et qui, par conséquent, tentent
d'en conserver les points forts tout en se
préservant de leurs points faibles. Ce faisant,
la moitié du texte est largement
dépassée (15 pages sur 28) et un propos
extrêmement important se trouve ainsi
argumenté de manière serrée : on
comprendrait mal, aujourd'hui, un éventuel retour
aux programmes de 1945 car cela conduirait
assurément à moins de réussite,
c'est-à-dire à l'effet inverse que disent
viser les défenseurs de cette
contre-réforme.( 1 )
Or, au moment où je rédigeais ce texte,
j'avais bien conscience que les arguments avancés
pour critiquer les pratiques d'avant 1970, conduisent aussi
à critiquer certains points des programmes actuels,
et des points qui sont loin d'être mineurs (ils
concernent la conceptualisation de la soustraction, de la
division, des fractions…). J'ai donc pensé
(et je pense toujours) qu'il n'était pas possible de
m'arrêter là et que je ne devais pas le
masquer.
Mais revenons à la première moitié du
texte. Pourquoi peut-on dire que j'ai essayé d'y
débattre en "héritier de la réforme de
1970" ? Pour répondre à cette question, il
faut prendre un peu de recul historique et
s'intéresser à l'évolution des
programmes depuis 1a naissance de la Troisième
République jusqu'à cette date (le lecteur
pourra se reporter à l'excellent article de Renaud
d'Enfert, 2006). Entre 1882 et 1970, les programmes de
l'école primaire ont été
modifiés principalement en 1923 et 1945. On ne peut
pas rendre compte de ces évolutions, sans
considérer qu'au point de départ, il n'y a
pas un, mais deux systèmes scolaires en France qui
fonctionnent en parallèle dès les petites
classes : un système court (appelé
école primaire) et un système long
(appelé école secondaire). Alors que les mots
"primaire" et "secondaire" renvoient aujourd'hui au
fonctionnement successif dans le temps d'un seul
réseau d'enseignement, ils renvoyaient à
l'époque aux fonctionnements en parallèle de
deux réseaux aux finalités et aux contenus
d'enseignement très différents.
Renaud d'Enfert nous dit ainsi que l'enseignement primaire
est un enseignement court et pratique, voire "utilitaire"
alors que l'enseignement secondaire est un enseignement
long, théorique et
"désintéressé". Les programmes de 1945
et le fait qu'on enseigne les 4 opérations
dès le CP trouvent leur origine dans les programmes
de 1882 pour l'école primaire : comme le temps
d'enseignement est court (la "scolarité obligatoire"
s'arrête alors à 13 ans), pour être
sûr que les élèves sortent de
l'école avec les savoirs pratiques
appropriés, il convient de les enseigner
d'emblée et de répéter cet
enseignement tous les ans, tout en l'approfondissant (c'est
la fameuse "méthode concentrique"). Cette
méthode sera officiellement abandonnée en
1923, notamment parce qu'elle instaure l'ennui en classe.
Cependant, comme l'enseignement des 4 opérations
dès le CP, lui, perdurera jusqu'en 1970, il n'y aura
pas, avant cette date, de franche rupture avec la
méthode concentrique.
Diverses sortes de légitimations sont
invoquées pour expliquer les quelques
évolutions des programmes entre 1882 et 1970 :
- Des légitimations qui sont d'ordre
économique et social : la France a besoin de
travailleurs mieux formés, par exemple.
- Des légitimations d'ordre idéologique :
on imagine aisément que, de ce point de vue, les
tenants d'un humanisme universaliste s'opposent aux
idéologues de la résignation sociale (il
serait dangereux pour la société de trop
instruire des enfants qui, par leur naissance, sont
appelés à occuper des emplois subalternes).
- Des légitimations d'ordre pédagogique :
promouvoir l'activité de l'enfant pour lutter contre
l'ennui et favoriser l'épanouissement, par exemple,
mais aussi, et pour d'autres pédagogues : il
convient d'apprendre aux enfants à distinguer d'une
part les connaissances mathématiques que le
maître leur démontre de manière
rationnelle et d'autre part celles qu'il ne juge pas
nécessaire de leur démontrer rationnellement
et dont ils doivent accepter la vérité parce
que la parole du maître est celle d'une personne qui
connaît cette vérité, etc.
Il faut bien voir que la distinction entre les
légitimations d'ordre idéologique et celles
d'ordre pédagogique est, à cette
époque, bien floue et qu'il n'est guère de
discours pédagogique qui ne se réfère
à l'idéologie qui le fonde.
Que représente la réforme de 1970 dans ce
contexte ? Elle correspond au moment où s'instaure
un accès de masse à l'enseignement
secondaire. L'école primaire perd de sa
finalité propre pour devenir propédeutique
à cet enseignement secondaire. L'enseignement des
mathématiques peut dès lors être
programmé sur le long terme. Il n'y a plus
d'impératif à enseigner les 4
opérations dès le CP ! Ce changement dans les
paramètres temporels de l'enseignement des
mathématiques va permettre l'irruption dans les
programmes d'un type de légitimation des
évolutions proposées qui est radicalement
nouveau. Concernant la soustraction, par exemple, on lit :
"Le fait que les égalités 8 + 7 = 15 et 15
- 8 = 7 ont même signification est difficilement
compris par les enfants de cours préparatoire. Aussi
paraît-il indiqué de n'introduire la
soustraction, avec son signe, qu'au cours
élémentaire."
Ceci peut se reformuler de la manière suivante : il
est difficile pour un enfant de CP de comprendre que le
nombre qu'il faut ajouter à 8 unités pour en
avoir 15 (à savoir, 7 unités) est aussi le
résultat du retrait de 8 unités à 15
unités. Ou encore : il est difficile pour un enfant
de CP de s'approprier l'équivalence entre la
procédure de recherche de la valeur d'un
complément et celle de recherche du résultat
d'un retrait. Et il est implicite dans le propos tenu,
qu'il conviendrait mieux de n'introduire le signe « -
» que lorsque celui-ci peut fonctionner comme symbole
de cette équivalence. Ce type d'argument
pédagogique est complètement nouveau parce
qu'il apparaît peu lié aux conceptions
idéologiques de celui qui le tient. Il se fonde plus
dans deux sortes de considérations :
- des considérations
épistémologiques (quelle sorte de
connaissance est celle d'un "authentique signe « -
»" , c'est-à-dire d'un symbole
arithmétique qui ne soit pas une simple
abréviation sténographique des verbes dont la
sémantique est du côté du retrait ?) ;
- des considérations psychologiques : en 1970, il
y avait plus de 25 ans que Piaget parlait de la
difficulté des jeunes enfants à
accéder à la "réversibilité".
Il faudrait faire des recherches historiques plus
précises, mais il se peut qu'il s'agisse là,
en 1970, de l'acte de naissance des arguments de type
strictement didactique. Ceux-ci apparaissent comme des
arguments pédagogiques particuliers. Ils trouvent
leur origine dans des considérations
épistémologiques et psychologiques. Ils sont
par conséquent moins liés aux conceptions
idéologiques de celui qui les tient que ne le sont
généralement les arguments
pédagogiques.
Dans l'article initial, c'est donc tout à fait
intentionnellement que je n'ai pas amorcé le
débat avec les membres du Groupe de Réflexion
Interdisciplinaire sur les Programmes comme le fait Roland
Charnay en demandant à ces personnes qu'elles
"présentent les fondements de leurs
déclarations en relation avec l'idéologie qui
les anime". Ce n'est probablement pas en mettant en
doute l'humanisme des membres du GRIP qu'on a quelque
chance de les amener à considérer plus
favorablement l'évolution des pratiques
pédagogiques et des programmes depuis 1970. J'ai
donc, comme je l'expliquais plus haut, pris au
sérieux l'idée d'un retour à
l'enseignement de la division conformément aux
pratiques d'avant 1970 pour montrer, à l'aide
d'arguments de nature didactique
(épistémologique et psychologique), que ce
serait, en termes d'efficacité de l'école, un
"choix perdant". Cette démarche n'est pas si banale
et il est quelque peu vexant que Joël Briand et Roland
Charnay considèrent cette partie essentielle de
l'article initial comme un simple prétexte aux
critiques de certains points des programmes et de leurs
documents annexes.
Un premier consensus qui commence à émerger :
symbolisme arithmétique et conceptualisation de la
division
Avant d'expliciter ce qui apparaît comme une bonne
nouvelle, qu'on me permette de répondre à une
objection que Roland Charnay juge fondamentale puisqu'il
écrit que : "Il y a là une sollicitation
abusive des textes qui met à mal une bonne partie de
l'argumentation de Rémi Brissiaud". Ne pas y
répondre risquerait également de mettre
à mal l'argumentation qui suivra, celle qui conduit
à penser qu'un consensus commence à
émerger à propos de ce thème.
Roland Charnay me reproche d'avoir écrit que les
documents d'application programment la division
posée au CM2. Il rappelle que :
"Le tableau auquel se réfère Rémi
Brissiaud propose d'approcher, de
préparer la division posée dès
le CE2 et de la construire et de la
structurer au CM2. Rien n'empêche donc de
poser des divisions, avec la potence, dès le CE2
pour préparer une technique qui peut
n'être effectivement stabilisée qu'au
CM2 ".
Dans la première phrase de la citation
précédente, les quatre mots mis en gras (de
mon fait) sont effectivement ceux qu'on trouve dans les
documents d'application (il y est de plus
précisé que l'année suivante, au CM1,
les enseignants sont toujours dans cette phase d'approche
et de préparation). Dans la seconde phrase, celle
où Roland Charnay reformule la première et,
donc, ce qui est dit dans les documents d'application, on
ne trouve plus que deux mots (mis en gras également
de mon fait) : "approcher, préparer" a
été remplacé par
"préparer", ce qui n'a rien
d'étonnant, mais "construire,
structurer" a été remplacé par
"stabiliser" et, dans ce cas, l'idée
de "construction" a disparu. Je ne voudrais pas entretenir
une mauvaise querelle terminologique, mais si ma seule
erreur a été de considérer que la
préconisation de construire la division
posée au CM2, incite à ne poser ses
premières divisions qu'à ce moment de la
scolarité, il me semble que quiconque cherche
à comprendre ce passage du document d'application
à partir de la signification habituelle des mots,
ferait la même interprétation. Joël
Briand, d'ailleurs, parle à propos de ce passage des
documents d'application d'"erreur de programmation".
Mais venons-en au consensus naissant.
Je parle dans mon texte de "conceptualisation" de la
division, plutôt que de "compréhension" de
cette opération pour souligner l'aspect constructif
de ce processus de compréhension. Et c'est
évidemment en tant que psychologue que j'utilise le
mot "constructif", c'est-à-dire en un sens
technique. Ainsi, au sens piagétien du terme, le
constructivisme renvoie à l'idée qu'en
mathématiques :
- le progrès des enfants a partie liée avec
la découverte de propriétés relatives
à leurs actions : la découverte de
l'équivalence entre la recherche de la valeur d'un
complément et le résultat d'un retrait, par
exemple, ou encore : la découverte de
l'équivalence entre la recherche de la valeur d'une
part lorsqu'on partage une collection en n parts
égales et celle du nombre de groupes de n
unités qu'il est possible de former à partir
de la même collection ;
- cette découverte se réalise très
souvent "en acte" et il faut donc, comme le fait Piaget
(1974), distinguer deux compréhensions, l'une "en
actes" (qui correspond à la réussite de
l'action) et l'autre "en pensées" (qui correspond
à ce qu'on appelle habituellement la
compréhension ) : "réussir c'est
comprendre en action une situation donnée à
un degré suffisant pour atteindre les buts
proposés, et comprendre c'est réussir
à dominer en pensée les mêmes
situations jusqu'à pouvoir résoudre les
problèmes qu'elles posent quant au pourquoi et au
comment des liaisons constatées et par ailleurs
utilisées dans l'action" (p. 237) ;
-
la conceptualisation correspond au
moment où la compréhension de l'action
vient rattraper sa réussite parce que cette
compréhension s'effectue en pensée ; il
n'y a pas de conceptualisation sans processus de
prise de conscience et sans symbolisation. ( 2)
D'où la question que j'ai posée : comment
peut-on espérer favoriser la conceptualisation de la
division avec reste, lorsqu'on ne dispose que tardivement
d'un symbole pour cette division ? Très souvent
aujourd'hui, les maîtres n'introduisent un symbole,
le plus souvent la potence, qu'au CM1. Ce faisant, ils ne
suivent pas à la lettre la recommandation de
programmation qui figure dans le document d'application des
programmes mais, même au CM1, je pense que c'est une
année trop tard.
Les documents d'application des programmes passent
complètement sous silence ce problème majeur
ou, plutôt, ils s'en accommodent en toute
sérénité. Ils disent (p. 27) :
"Pour la division euclidienne, il n'existe pas de signe
conventionnel pour le quotient entier. Pour rendre compte
complètement du calcul (quotient entier et reste),
l'égalité caractéristique de la
division est utilisée 37 = (5 x 7) + 2 (en
soulignant que le reste est inférieur au
diviseur)."
Alors que Roland Charnay a coordonné la
rédaction du document dont est extrait le passage
précédent, il s'exprime aujourd'hui de
façon très différente :
"La question du signe de la division est une question
récurrente, souvent mal tranchée, ce qui
n'est pas sans conséquence sur certaines
difficultés rencontrées par les
élèves."
Le débat progresse : il est raisonnable de penser
que s'il coordonnait aujourd'hui une nouvelle
rédaction des documents d'application, il attirerait
l'attention des enseignants sur ce problème
important.
De plus, Roland Charnay examine la solution que j'ai
avancée à ce problème :
"Rémi Brissiaud propose une solution "simple"
(selon lui) qui consiste à écrire 163 : 50 ?
et à répondre q = 3 et r = 13. Cette
proposition mérite d'être discutée, car
elle ne souffre pas des inconvénients majeurs de
notations comme 163 : 50 = 3 (reste 13) parfois
utilisées". Il critique ensuite cette solution
mais l'essentiel n'est pas là. Lui-même en
propose une autre, utilisable selon lui dès le CE2.
C'est le signe que le problème didactique
posé peut difficilement rester sans solution :
"Rien n'interdit à un enseignant, dès
qu'il aborde la division, de faire écrire quelque
chose comme
notation qui sera réutilisée au moment de
la mise en place de la technique de calcul
posé."
Soulignons d'abord le fait qu'un premier consensus commence
à émerger : si l'on veut que les
élèves s'approprient le concept de division
sur une longue durée à l'école
primaire (du CE2 au CM2), il est nécessaire qu'ils
disposent dès le CE2 d'un symbole de
l'équivalence entre le partage en n parts
égales et le groupement par n.
Venons-en ensuite aux critiques que Roland Charnay fait de
ma proposition. La principale se fonde dans le fait qu'il
existe deux divisions : celle avec reste et la " division
exacte " (pour partager 21 images en 4, on utilise la
division avec reste, et pour partager 21 brioches en 4, la
"division exacte" car la brioche restante peut être
partagée). Il pense qu'alors, ces deux concepts
seront symbolisés à l'identique par le
symbole ":" tandis qu'il s'agit de deux concepts
mathématiques différents.
Cette objection est un peu précipitée.
Lorsqu'on écrit "21 : 4 ?" pour symboliser la
division avec reste de 21 par 4 (avec q = 5 et r = 1 comme
résultat), dans cette formule, ce ne sont pas
seulement les deux points qui symbolisent la division avec
reste, c'est l'ensemble formé par les deux points et
le point d'interrogation : "21 : 4 ?". Or la "division
exacte", elle, est symbolisée de la manière
suivante "21 : 4 = …". La division exacte est ainsi
symbolisée par un ensemble "syntaxiquement"
différent, celui formé par les deux points et
le signe "=". Le résultat de cette "division exacte"
s'exprime soit sous la forme "21 : 4 = 5 + 1/4" (car dans
la "division exacte", le reste 1 est partagé en 4),
soit sous la forme "21 : 4 = 5,25" qui revient au
même ici. Si on prend soin de "travailler" la
différence conceptuelle entre les deux sortes de
divisions, le fait que les deux ensembles qui symbolisent
ces deux divisions ont une partie commune n'entraîne
pas de confusion parmi les élèves. Cela est
attesté par les dizaines de milliers
d'élèves qui manient ces deux
écritures au CM depuis près de 10 ans (celle
de la division avec reste dès le CE2) et cela peut
se vérifier sans difficulté. Par ailleurs, il
est légitime que les ensembles de symboles
utilisés pour la division avec reste et la division
exacte aient une partie commune : bien que
différentes, ces deux divisions ne sont
évidemment pas sans signification commune.
Reste une objection : "cette notation n'a pas d'avenir
pour les élèves, en dehors du contexte de la
classe : elle n'est ni reconnue par la communauté
mathématique, ni utilisée dans la suite de la
scolarité". Ceci ne paraît pas bien grave
: il est vrai que la communauté mathématique
ne dispose pas de symbole pour distinguer les deux sortes
de divisions, mais c'est parce qu'au-delà de la
phase d'apprentissage, le problème perd
considérablement de son importance. Et, donc, le
fait que ces notations (celle de la division avec reste et
celle de la "division exacte") aient un avenir au sein de
la classe tout le temps du cycle 3 de l'école
primaire suffit largement à justifier leur emploi.
Que penser de la solution alternative avancée par
Roland Charnay, à savoir l'utilisation de la potence
dès le CE2, non pas comme mode d'organisation qui
sert de support et d'aide à l'effectuation d'un
calcul mais comme mode d'expression de l'opération,
des nombres sur lesquelles elle porte (dividende et
diviseur) et des deux nombres qui en sont le
résultat (quotient et reste) ? Elle a
l'inconvénient suivant : même si ce n'est pas
le cas dans un premier temps au CE2, très
rapidement, la potence fonctionnerait pour les
élèves à la fois comme support
et aide au calcul d'une division posée et comme mode
d'expression de l'opération. Cela ne favoriserait
guère l'usage d'autres stratégies de calcul
du quotient et du reste que celles qui sont
privilégiées lors du calcul d'une division
posée. Comme l'un des principaux enjeux de l'usage
d'un tel symbolisme est de favoriser l'accès
à des stratégies diverses face au même
symbolisme, on voit que cet inconvénient n'est pas
mineur.
Un second consensus qui commence peut-être à
émerger : "faire des mathématiques, ce n'est
pas seulement résoudre des problèmes"
Cette proposition n'est évidemment
pas indépendante de la distinction faite par
Piaget entre "réussir" et "comprendre (en
pensée)" qui a été rappelée
plus haut. Il ne suffit pas de réussir à
résoudre des problèmes, il convient aussi
de comprendre le pourquoi et le comment de cette
réussite pour qu'elle ne reste pas sans
lendemain. Les didacticiens des mathématiques,
pour aborder ce sujet, distinguent les
connaissances que les élèves
mobilisent face à un problème (leurs
modèles implicites d'action) et les
savoirs que l'institution scolaire se doit
d'enseigner aux élèves( 3
). Et leur point de vue est très
piagétien parce qu'ils considèrent
généralement que tout ce que les
élèves "font", mais qui n'est pas assez
rapidement reconnu, dit ou
"récupéré" dans un système
de savoirs, sera perdu.
Rappelons que dans l'article initial, cette
question a été abordée en se
référant à un texte récent
d'Alain Mercier (2006)( 4 ) qui a
été mis en ligne sur le site EducMath.
Roland Charnay revient sur le texte d'Alain Mercier. Il
le cite même largement :
"… Si pour apprendre comment résoudre des
problèmes il faut en rencontrer, c'est dans le cadre
d'une situation didactique qu'il faut le faire ; faute de
quoi il n'y a pas de raison de progresser plus rapidement
que le progrès historique. On comprend alors que le
slogan de la "résolution de problèmes" permet
de nier l'importance des conditions didactiques et de
proposer, sous le prétexte qu'il a plus de sens, un
enseignement qui ne s'adresse plus qu'aux rares
élèves capables de tirer profit par
eux-mêmes de leurs rencontres aléatoires"
Mais, de manière surprenante, il analyse cette prise
de position ainsi : Alain Mercier "ne dit pas autre
chose que ce qui est mentionné dans les documents
d'application qui évoquent "des activités
bien choisies et organisées par l'enseignant"
(idée développée dans un des documents
d'accompagnement). On est loin des «rencontres
aléatoires…»."
Or, quand on lit le texte d'Alain Mercier d'une part et les
programmes et leurs documents annexes d'autre part, on a du
mal à conclure à une identité des deux
points de vue. Fait-on un contresens si on comprend
qu'Alain Mercier attire notre attention sur un
déséquilibre, qui s'est installé au
cours de ces 10 dernières années, entre
l'importance accordée dans le discours de formation
au fait que les élèves soient mis en "
situation de résolution de problème ",
c'est-à-dire en situation de recherche, et la
moindre importance accordée aux savoirs et aux
conditions de leur construction ?
D'ailleurs, cette idée d'un
déséquilibre est reprise par Joël Briand
qui, dans le texte mis en ligne ici même, recommande
de "prendre un peu de distance avec la devise »La
résolution de problèmes est au centre des
activités mathématiques«". Et il ajoute
: "C'est en effet un point des programmes qui
(…) paraît contestable puisque cette approche
laisse dans l'ombre la façon dont les principaux
concepts de mathématiques de l'école primaire
peuvent se construire par confrontation avec un milieu
d'apprentissage. Enseigner les mathématiques par les
situations problèmes est pour le moins souvent
interprété de façon très
basique. Les savoirs mathématiques seraient-ils
"déjà là" ? Comment se sont-ils
construits ? Où ?". Dans ce passage, il reprend
ainsi très exactement le point de vue d'Alain
Mercier et sa critique vise explicitement les programmes
(la mise en gras est de mon fait).
Un consensus sur ce thème serait-il en train
d'émerger ? Il est sûr en tout cas que
didacticiens et psychologues sont nombreux aujourd'hui
à penser qu'il est utile d'alerter les enseignants
sur un déséquilibre qui s'installe depuis
plusieurs années entre l'attention portée aux
situations en tant que situations de recherche et celle qui
leur est portée en tant que situations de
construction des savoirs.
Quels problèmes à l'école ?
Pour autant, quand David Lefèvre dit qu' "il
serait déraisonnable de jeter en quelque sorte le
bébé avec l'eau du bain. Et le
bébé, j'ai bien peur que ce soit les
situations problème", il a raison : il ne s'agit
évidemment pas de rejeter l'idée même
de situation de recherche, il s'agit seulement de souligner
que toutes les situations de recherches ne se valent pas du
point de vue de la construction des savoirs.
Considérons par exemple les trois
"situations-problèmes" suivantes :
- S1 : Le problème suivant est proposé
à une classe de CE1 : "Combien peut-on former de
paquets de 12 images avec 99 images ?".
- S2 : Le problème suivant est proposé
à une classe de CM : "Alain a des billes, Claire en
a deux fois plus et Bernard quatre fois plus. En tout ils
en ont 91. Combien en ont-ils chacun ?" (c'est le
problème analysé par David Lefèvre
dans son texte).
- S3 : L'enseignant propose aux élèves un
logigramme ou une grille de Soduku ou un problème
d'échecs.
Les trois situations sont des "situations-problèmes"
qui vont amener les élèves à chercher,
à débattre, à valider certaines
solutions et non d'autres, etc. Et pourtant, du point de
vue scolaire, les situations S1 et S2 sont beaucoup plus
légitimes que la situation S3.
Concernant S1, soyons bref : mon article initial qualifie
de "révolution pédagogique" le fait de
s'autoriser à poser des problèmes de partage
ou de groupement au CP et au CE1, c'est-à-dire avant
d'enseigner la division comme symbole de
l'équivalence entre les procédures de partage
et de groupement ; inutile donc d'insister davantage sur
l'intérêt de ce type de situation.
La situation S2 est, elle aussi, complètement
pertinente à l'école. Dans un premier temps,
les élèves traitent le problème par
simulation de ce qui est dit dans l'énoncé en
testant des hypothèses : si Alain a 10 billes,
Claire en a 20 et Bernard 40. En tout, ça
fait… Et dans l'échange collectif, nul doute
que de nombreux élèves comprennent qu'on peut
aussi traiter ce problème en cherchant le nombre
qui, multiplié par 7, donne 91. Il s'agit donc d'un
problème de division qui ne s'offre pas
d'emblée comme tel !
Alain Mercier, toujours dans le texte déjà
cité, dit que " Faire des mathématiques,
c'est (…) « pour apprendre comment
résoudre des problèmes » (par avance,
donc on étudie des classes de problèmes afin
de savoir) et non pas « pour que les problèmes
soient résolus » (un à un, donc on
étudie les problèmes qui se présentent
et on les résout comme on peut)". Très
clairement, les problèmes S1 et S2 appartiennent
à une même classe (celle des problèmes
de division) et on voit bien quelle intention didactique,
en terme d'acquisition de savoirs, conduit à les
proposer aux élèves. Ce n'est pas le cas des
situations de type S3.
Faut-il pour autant s'interdire de proposer des situations
de type S3 ? Hélas, le temps consacré
à ce type d'activité ne l'est pas à
favoriser la conceptualisation arithmétique chez les
élèves. Si l'enseignant juge qu'il a fait
tout ce qu'il devait faire pour favoriser chez ses
élèves la compréhension des
équivalences entre procédures qui fondent les
opérations arithmétiques, les concepts de
fractions, de décimaux, etc. Si les
élèves prouvent, par leurs compétences
en calcul mental notamment, qu'ils savent faire fonctionner
ces équivalences, s'ils prouvent par leur
comportement dans des situations de type S1 ou S2 qu'ils
savent construire ce qu'on appelle en psychologie la
"représentation d'un problème" même
lorsqu'il s'agit d'un problème nouveau…
alors, évidemment, une grille de Soduku n'a jamais
fait de mal à un élève. En revanche,
le raisonnement qui consiste à penser qu'il serait
nécessaire que les élèves apprennent
d'abord "à chercher" dans les situations de type S3
avant de les mettre " à chercher " dans des
situations de type S1 ou S2 (parce qu'elles sont plus
"scolaires"), n'a guère de base scientifique. Les
résultats des recherches en psychologie cognitive
incitent au contraire à considérer qu'on
n'apprend pas "à mener une recherche efficace" en
général mais toujours dans un domaine
conceptuel déterminé.
Terminons cette partie en remarquant que, bien entendu, les
situations S1, S2 et S3 ont été choisies pour
permettre au lecteur de théoriser et non pour
référer de manière stricte : face
à un problème donné, l'enseignant doit
toujours se demander si ce problème est proche de S1
ou S2 ou proche de S3.
Programmes, documents annexes et pratiques professionnelles
Roland Charnay souligne le passage suivant dans son texte
en le mettant en gras : "Aujourd'hui, les enseignants
ont sûrement plus besoin de
sérénité, de temps, de formation et de
la confiance des responsables du système
éducatif que de vaines polémiques autour des
programmes". On ne peut qu'être d'accord avec lui
sur le besoin de sérénité des
enseignants et j'ai moi-même déploré
que les campagnes médiatiques de suspicion envers
l'école, à coups de simplifications
grossières, déstabilisent les enseignants et
nuisent à la nécessaire confiance des parents
envers les maîtres.
Mais ce qui rend les enseignants sereins, c'est avant tout
la conviction lucide que leur enseignement est efficace.
Or, les analyses précédentes conduisent
à penser que certains aspects des programmes et de
leurs documents annexes ne favorisent pas au mieux
l'efficacité de l'enseignement. Que faut-il faire :
ne rien dire ou en parler ?
En fait, le discours critique qui peut être tenu dans
ce cas n'a pas les mêmes répercussions
institutionnelles selon qu'on parle des programmes ou des
documents annexes. Les deux cas doivent donc être
distingués. Commençons par envisager celui
des documents annexes.
Les documents annexes des programmes et les pratiques
professionnelles
Comme c'est dit dans mon article initial, et comme Roland
Charnay le signale : "seuls, faut-il le rappeler, (les
programmes) ont un caractère d'obligation".
Effectivement, il est très utile de le rappeler
parce que le mot "application", celui qui est
utilisé pour désigner une partie des
documents officiels n'est pas anodin : il laisse penser que
leur contenu indique ce qu'il conviendrait de faire dans
les classes pour " appliquer " les programmes et il n'est
pas certain que tous les enseignants sachent qu'ils
disposent de la liberté pédagogique
d'interpréter les programmes autrement que le font
ces documents. Cette ambiguïté est
renforcée par la formule utilisée dans les
divers fascicules édités par le CNDP : sur la
page 1 des documents d'application, on lit en effet
que le contenu du livret est "applicableà la
rentrée 2002" ; sur celle des documents
d'accompagnements, qu'il est "applicable à la
rentrée 2003".
Par ailleurs, le style utilisé n'est pas toujours
celui qui favorise le mieux l'exercice de cette
liberté pédagogique. On lit par exemple
(documents d'accompagnement, page 45), concernant les
tables de multiplication : "Il faut souligner que la
récitation mécanique des tables constitue un
obstacle à la mobilisation rapide d'un
résultat quelconque". L'enseignant qui,
aujourd'hui, continue à faire apprendre, dans un
premier temps, les tables par cœur dans l'ordre doit
avoir une conviction bien chevillée pour
dépasser l'inquiétude que peut susciter un
tel passage. Or aucune recherche scientifique ne fonde
l'affirmation précédente. Bien au contraire,
il est assez facile, pour un psychologue, d'argumenter en
faveur de la récitation des tables dans l'ordre dans
un premier temps (récitation qui n'est
évidemment pas "mécanique" dans la mesure
où, dans la table de 3, par exemple, les
résultats vont de 3 en 3). Dans un deuxième
temps, cela permet en effet d'enseigner aux
élèves à retrouver les
résultats de "fin de table", sans réciter la
table depuis le début : "3 fois 6", par exemple, est
"juste après 3 fois 5". Comme dans la table de 3,
les résultats vont de 3 en 3, "après 15,
c'est 18" ; "3 fois 9", autre exemple, est "juste avant 3
fois 10". Comme dans la table de 3, les résultats
vont de 3 en 3, "avant 30, c'est 27". C'est parce que les
élèves ont appris à "réciter"
la table qu'ils peuvent apprendre à mobiliser de
plus en plus rapidement un résultat isolé en
s'appuyant sur les repères privilégiés
5 et 10. En lisant ce passage, les enseignants peuvent-ils
conserver leur sérénité s'ils
pensaient auparavant, d'après leur expérience
par exemple, que la récitation des tables
accélère la mémorisation des produits
isolés ?
Enfin, tout le monde s'accorde sur l'importance de la
formation didactique, initiale et continue des enseignants.
Or les documents annexes aux programmes sont parmi les
documents de formation les plus utilisés. C'est
normal au demeurant, puisqu'ils sont annoncés comme
rédigés par une commission d'experts. Nous
avons vu au début de ce texte qu'un consensus est en
train de se former pour considérer certains aspects
des documents annexes des programmes de manière
critique : parfois, leurs recommandations ne sont pas
celles qui conduisent à un enseignement efficace.
Faut-il le cacher aux enseignants et demander à
l'ensemble des professionnels concernés
(maîtres et formateurs ) d'attendre une future
révision de ces documents pour aborder ces points
problématiques ?
Tout au contraire, c'est seulement dans la mesure où
les enseignants en formation procèdent à une
analyse " distanciée " des annexes des programmes
que cette lecture est formatrice, que leur enseignement
peut acquérir l'efficacité nécessaire
et, qu'eux-mêmes accéderont, par là et
de surcroît, à la
sérénité correspondante.
Les programmes eux-mêmes et les pratiques
professionnelles
Le cas de la soustraction pose un problème
institutionnel plus complexe. En effet, c'est dans les
programmes eux-mêmes qu'on trouve certaines
préconisations peu compatibles avec l'état
des connaissances en didactique et en psychologie des
apprentissages mathématiques. Roland Charnay se
contente, dans son texte, de relever "quelques
différences qui peuvent exister entre ces deux
« opérations » (soustraction et
division) qui pourraient à elles seules justifier
des approches différentes". Il note notamment que :
"l'équivalence « sémantique »
entre recherche d'un complément, d'un écart
et du résultat d'un retrait pour la soustraction est
beaucoup plus facile à penser que celle entre
recherche du nombre de parts et de la valeur d'une part
pour la division ". Certes, mais bien qu'elle soit plus
facile à penser, cette équivalence est loin
d'aller de soi. Rappelons que le problème suivant a
été proposé à 110
élèves au début et en fin de CE1
(Brissiaud et Sander, 2004 ; Brissiaud, 2004) :
"Un minibus transporte 3 personnes. À un
arrêt, d'autres personnes montent et le minibus
redémarre alors qu'il est complet : il y a
maintenant 42 personnes à l'intérieur.
Combien de personnes sont montées dans le minibus ?"
En début de CE1, ce problème est
réussi par 22 % des élèves alors que
75% d'entre eux savent trouver le résultat du
retrait de 3 unités à 42. À ce moment,
donc, peu d'élèves utilisent
l'équivalence entre recherche de la valeur d'un
complément et celle du résultat d'un retrait.
En fin de CE1, ils sont plus nombreux à l'utiliser :
42 % des élèves réussissent le
problème du minibus qui se remplit. Ainsi, pendant
l'année de CE1, les élèves
progressent, mais il reste des progrès à
faire et on peut légitimement se demander si ces
progrès n'auraient pas pu être plus importants
au cycle 2.
Quand Roland Charnay dit que l'équivalence entre la
recherche de la valeur d'un complément et celle du
résultat d'un retrait, est plus facile à
penser que l'équivalence correspondante concernant
la division, il ne répond pas aux questions que j'ai
posées ; il ne fait qu'en souligner la pertinence :
si cette équivalence est plus facile à
penser, comment expliquer qu'on lise dans les documents
d'accompagnement que son usage "relève du cycle
3" ? Comment expliquer le mésusage du mot
"expert" qui est fait dans les programmes de cycle 2,
mésusage que j'ai analysé dans l'article
initial comme un exemple "d'effet Jourdain" (Brousseau
1987) ?
Dans le cas de cette opération, c'est donc dans les
programmes eux-mêmes qu'on trouve des insuffisances
graves. Pour autant, je n'appelle nullement à un
changement rapide de ces programmes. En effet, les
programmes seraient-ils parfaits - si c'est imaginable -
que les pratiques professionnelles ne s'en trouveraient pas
subitement améliorées de manière
magique. Ce n'est évidemment pas ainsi que les
pratiques professionnelles évoluent. Aussi ne
doit-on pas sacraliser ces textes réglementaires ;
on doit considérer ces programmes, et a fortiori
leurs documents annexes, à la fois dans leurs forces
et dans leurs faiblesses. Les formateurs, les enseignants,
les chercheurs doivent être autorisés à
se situer dans un rapport critique à ces documents,
sans être réprimandés à la
moindre objection, surtout quand cette objection est
scientifiquement fondée.
De l'intérêt de comparer les programmes de
2002 en français et en mathématiques
Dans l'article initial, j'ai avancé que les
programmes de 2002 apparaissent très
différents dans ce qu'ils préconisent pour la
lecture et pour les mathématiques et que
"concernant l'apprentissage de la lecture, les
programmes de 2002 ont officialisé une sorte de
"recentrage" du discours pédagogique sur certaines
conditions indispensables à la compréhension
de l'écrit (la conceptualisation des relations
grapho-phonologiques, la fréquentation
d'œuvres littéraires, notamment)". David
Lefèvre conteste l'usage du mot "recentrage" pour
rendre compte de la fréquentation d'œuvres
littéraires telle qu'elle se développe
aujourd'hui en soulignant qu'elle n'a jamais
été aussi importante et, donc, qu'un mot tel
que "recentrage" lui paraît inapproprié. Il a
vraisemblablement raison. Mais à vrai dire, si j'ai
évoqué la fréquentation d'œuvres
littéraires, c'est essentiellement pour
énoncer que des programmes qui, en lecture,
mettraient l'accent sur la seule conceptualisation des
relations grapho-phonologiques, ne seraient pas
"équilibrés". Je ne voulais pas laisser
penser que tout "recentrage" procède seulement de la
réhabilitation des processus cognitifs de "bas
niveau" (usage des relations grapho-phonologiques) et non
des processus cognitifs de "haut niveau"
(interprétation d'une œuvre
littéraire).
Dans le domaine des mathématiques, par exemple, ce
serait une erreur de penser que le
rééquilibrage nécessaire consisterait
seulement à consacrer plus de temps à la
mémorisation ou aux aspects automatiques du calcul,
pour équilibrer le temps passé à
résoudre des "problèmes pour chercher". Ce
qu'il convient de faire, c'est porter plus d'attention
aux conditions de la conceptualisation et cela aura
des conséquences à la fois en calcul (par
exemple, en définissant mieux les stratégies
de calcul les plus favorables au développement
conceptuel) et en résolution de problèmes.
C'est bien davantage une question d'interaction
entre calcul et résolution de problèmes
qu'une question de dosage des deux sortes de moments.
Vers un débat apaisé, qui permette
d'éviter une contre-réforme en
mathématiques à l'école primaire
Il n'est pas simple de débattre dans
un domaine, celui de l'enseignement des
mathématiques, où l'illusion d'une
unanimité a cours depuis longtemps (ce qui est
loin d'être le cas en lecture, on le sait). J'ai
évité dans ce texte de répondre
point par point aux objections de Roland Charnay et
Joël Briand parce qu'il m'aurait fallu
évoquer dans le corps même du texte
certaines approximations voire certain contresens
( 5 ). Cela aurait conduit à
allonger cette réponse en discutant d'objections
qui ne fragilisent pas l'argumentation utilisée
dans l'article initial. Mais, dans le cadre d'un
débat, on ne peut guère reprocher les
approximations et les contresens car il n'est pas si
simple de toujours les éviter. En revanche, il
est indispensable, et plus facile, d'éviter les
formules blessantes. Qu'apporte au débat le fait
de parler de Michel Delord, de Jean-Pierre Demailly et
des initiateurs du Groupe de Recherche
Interdisciplinaires sur les Programmes comme d'un
"quarteron de GRIPpés" (Joël Briand)
? Il est souhaitable également d'éviter
les mises en causes personnelles. Par exemple, Joël
Briand me qualifie dès la première phrase
de son texte d'"auteur régulièrement
invité dans les lieux de décision". Je
ne comprends pas ce qu'il a voulu dire. Comme on peut
facilement s'en douter, je n'ai pas été
associé à l'élaboration des
programmes et de leurs documents annexes (mais aucun
psychologue ne l'a été). Je ne fais pas
partie, non plus, de la commission qui élabore
les évaluations nationales CE2 et 6e ou d'autres
instances de décision. Certes, en 2004 et en
2005, j'ai été invité à
donner une conférence sur la construction du
nombre à l'Ecole Supérieure de l'Education
Nationale dans le cadre de la formation initiale des
IEN, mais ce sujet est l'un de mes principaux
thèmes de recherche (voir, par exemple, Bideaud,
Vilette et Lehalle, 2003). Le propos de Joël Briand
est donc surprenant. Qu'a-t-il voulu dire ?
Aurais-je moi-même cédé à ce
genre d'insinuation en disant que Roland Charnay est
"considéré comme le père des
programmes de 2002" ? Au moment où je me suis
exprimé ainsi, je n'ai fait que citer, en le mettant
entre guillemets, un extrait du Rapport de la Commission
parlementaire Rolland (p. 36), rapport que j'étais
en train de commenter en cet endroit de mon article. La
phrase dont provient cet extrait est la suivante : "M.
Roland Charnay, professeur agrégé de
mathématiques, membre du groupe d'experts sur les
programmes de l'école primaire, responsable de la
commission mathématique, et considéré
comme le père des programmes actuels… ".
C'est le seul endroit de l'article où j'ai
écrit le nom de Roland Charnay, parce qu'il figurait
dans ce rapport. Si j'avais imaginé que cela
provoquerait une telle réaction, je m'en serais
abstenu. Et s'il s'en trouve réellement
affecté, ainsi que les collègues dont il
prend la défense, je les prie sincèrement de
m'en excuser.
Mais plus fondamentalement, si l'on veut que le
débat soit productif, il convient de
réfléchir à la façon dont on en
situe les différents protagonistes. J'ai
rappelé au début du présent texte que
Roland Charnay considère la première
moitié de mon article initial comme un
prétexte parce que je chercherais essentiellement :
"à décrédibiliser les programmes de
2002, pourtant fondés et nourris par les travaux de
toute une communauté au cours des 40
dernières années". Il y aurait donc d'un
côté les personnes qui cherchent à
décrédibiliser les programmes de 2002, dont
je serais, et, de l'autre, celles qui font corps autour de
ces programmes parce qu'ils sont "fondés et
nourris par les travaux de toute une communauté au
cours des 40 dernières années". Cette
conception du débat peut-elle être productive
? Est-elle celle qui peut le mieux nous protéger du
risque d'une contre-réforme ?
La plupart des lecteurs ne se sont vraisemblablement pas
mépris en nous lisant : certaines idées
essentielles sur les apprentissages mathématiques
nous sont communes avec Joël Briand et Roland Charnay
et les consensus naissants ne sont pas les fruits du
hasard. S'il faut tracer une frontière, elle ne nous
sépare pas, elle passe entre, d'une part les
défenseurs de la contre-réforme et, d'autre
part, nous trois et les pédagogues tels que David
Lefèvre. J'appellerais volontiers ce second "camp",
celui des "héritiers de la réforme de 1970".
Ce qui donne une consistance à cette
frontière, c'est le fait que les défenseurs
de la contre-réforme se réclament seulement
de la tradition. En effet, Michel Delord et Jean-Pierre
Demailly font un usage de la tradition qui se justifie par
lui-même, au nom d'une valeur propre des choses du
passé (l'âge d'or, le paradis perdu). Et par
conséquent, leur argumentation est
imperméable aux résultats des recherches
scientifiques en psychologie et en didactique, comme elle
est imperméable à l'avis raisonné de
la plupart des praticiens de terrains d'aujourd'hui.
Aussi, si les "héritiers de la réforme de
1970" doivent se rassembler, ce ne peut pas être sur
la défense de la lettre des programmes de
mathématiques et de leurs documents annexes. En
effet, en faisant "corps" autour des programmes et de leurs
annexes tels qu'ils sont rédigés aujourd'hui,
nous nous rendrions aussi imperméables que les
militants du GRIP aux résultats des recherches
scientifiques et à l'expérience des
praticiens de terrain. Nous nous situerions en "miroir" des
tenants de la contre-réforme. Ce serait une tactique
perdante que d'opposer à l'immutabilité de la
tradition, l'immutabilité des programmes de 2002 et
de leurs annexes. Nous devons en être tous
convaincus, quelle qu'ait été l'implication
de chacun dans l'élaboration de ces textes.
Rémi Brissiaud
MC de Psychologie cognitive à l'IUFM de
Versailles
Équipe "Compréhension, Raisonnement et
Acquisition de Connaissances"
Laboratoire Paragraphe (Paris 8)
-
Roland Charnay émet des
réserves sur cette argumentation. Notamment :
j'ai critiqué l'apprentissage de la
résolution de problèmes tel qu'il se
pratiquait avant 1970 parce qu'il reposait
essentiellement sur la compréhension par les
élèves de "résolutions-types".
En effet, de nombreux élèves, avant
1970, utilisaient des analogies superficielles et
échouaient durablement. J'ai donc
qualifié cette forme d'apprentissage
d'"élitiste". Par ailleurs, j'ai dit de la
progression "post-70" présentée dans le
texte que "lorsque le progrès ne (s'y)
déroule pas comme on pourrait l'espérer
ce n'est pas si grave parce que tout est fait pour
que l'autre forme d'apprentissage de la
résolution de problèmes,
l'apprentissage à partir de
résolutions-types, puisse avoir lieu, comme
avant 1970…". Roland Charnay y voit une
contradiction : "Comment cette forme
"élitiste" peut-elle permettre de rattraper
des élèves avec lesquels une forme
moins élitiste n'aurait pas réussi
?". La réponse est dans le texte : il y
est dit que la progression post-70
présentée "favorise mieux que les
(progressions pré-70) cette forme
d'apprentissage de la résolution de
problèmes, parce que les élèves
y sont mis en garde contre l'usage d'analogies
superficielles". Le procédé
pédagogique utilisé à cet effet
s'appuie sur la "révolution
pédagogique" post-70 que constitue le fait de
s'autoriser à proposer des problèmes de
partage et de groupement longtemps avant
d'étudier le formalisme de la division.
L'argumentation générale de cette
partie de l'article initial tient donc : le retour
aux pratiques pédagogiques d'avant 1970,
serait assurément un "choix perdant". [retour]
-
L'un des principaux mérites de
Gérard Vergnaud, psychologue dont Roland
Charnay cite les travaux, est d'avoir
contribué à maintenir vivante la
pensée piagétienne entre 1975 et 1990,
c'est-à-dire durant une période
où, en psychologie, la perspective dite du
"traitement de l'information" était dominante
et même hégémonique. D'autres
chercheurs, dont Jacqueline Bideaud et Claire Meljac
y ont également contribué. On voit mal
en quoi on pourrait opposer le point de vue de
Gérard Vergnaud à celui qui est
développé ici. [retour]
-
En psychologie, le mot "connaissance"
n'est généralement pas utilisé
ainsi, en opposition avec le mot "savoir". [retour]
-
http://educmath.inrp.fr/Educmath/en-debat/le-repertoire-des-questions/question-de-kenneth-ruthven/
[retour]
-
Ainsi, au début de sa
réponse, Joël Briand écrit :
"Concernant la division, sa conceptualisation
consiste, d'après Brissiaud, en la
reconnaissance d'une équivalence
d'opération entre la valeur d'une part et le
nombre de parts, ce que l'auteur rebaptise «
groupements par n » et « partage en n
parts égales »".
Or, la notion de "groupements par n" est plus
générale que celle de "recherche du nombre
de parts" parce que le "groupement par n" n'implique
nullement la sémantique d'une situation de
partage. Si l'on considère le problème :
"Combien de groupes de 12 objets peut-on former avec 400
objets ?", par exemple, il renvoie à une situation
plus générale que celle où les 400
objets sont partagées entre des personnes et
où on donne 12 objets par personne. Si l'on
introduit la division dans la première de ces
situations plutôt que dans la seconde, les
élèves, d'emblée, sauront utiliser
la division dans un beaucoup plus grand nombre de
situations (Richard, 2004). C'est pourquoi l'usage que
fait Joël Briand du mot "rebaptise" fait peu de cas
d'une des principales idées avancées dans
mon texte : les enseignants doivent
réfléchir, lorsqu'ils introduisent un
nouveau savoir en classe, au niveau de
généralité auquel ils
l'introduisent. C'est une approximation et une
négligence théorique lourde de
conséquences de considérer que "la
recherche du nombre de parts" et le "groupement par n"
sont synonymes et je pense au contraire avoir mis en
garde dans mon texte les lecteurs contre cette erreur
théorique. On remarquera que Roland Charnay fait
la même approximation quand il dit :
"l'équivalence sémantique entre
recherche d'un complément, d'un écart et du
résultat d'un retrait pour la soustraction est
beaucoup plus facile à penser que celle entre
recherche du nombre de parts et de la valeur d'une part
pour la division".
Par ailleurs, quand Joël Briand critique l'usage de
l'expression "fraction-quotient" en me l'attribuant,
c'est un contresens dans le mesure où je reprends
ici, en précisant explicitement que c'est pour les
besoins du débat, la formulation adoptée
par… les documents d'application. Pour parler du
schème d'action correspondant, je
préfère en effet parler de "partition de la
pluralité". [retour]
Bideaud J., Vilette B., Lehalle H. (2003). La
conquête du nombre et ses chemins chez l'enfant.
Lille: Presses du Septentrion
Brissiaud R. (2004) La résolution de
problèmes arithmétiques : une étude
longitudinale au CE1. In ARDM (Ed) Séminaire
national de didactique des mathématiques 2004 Les
actes, p. 223-228
Brissiaud, R., & Sander, E. (2004) Conceptualisation
arithmétique, résolution de problèmes
et enseignement des opérations arithmétiques
à l'école : une étude longitudinale au
CE1. Document présenté au symposium
ARDECO "Les processus de conceptualisation en débat
: Hommage à Gérard Vergnaud". Clichy-La
Garenne. 28-31 Janvier 2004. 10 pages.
Brousseau G. (1987) Fondements et méthodes de la
didactique. Recherches en didactique des
mathématiques, 7-2, 33-115.
D'Enfert R. (2006) L'enseignement mathématique
à l'école primaire de la Troisième
République aux annnées 1960 : enjeux sociaux
et culturels d'une scolarisation "de masse". In SMF (Ed)
Gazette des Mathématiciens, 108, 67-81
Piaget J. (1974) Réussir et comprendre. Paris
: PUF
Richard J. F., (2004) Les Activités Mentales (4e
édition) : De l'interprétation de
l'information à l'action. Paris : Colin.
Page publiée le 29-06-2006
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