David Lefebvre
Dans un long et
passionnant article paru récemment sur le site du
Café Pédagogique, Rémi Brissiaud
développe un très intéressant argumentaire
concernant l'enseignement de la division à
l'école élémentaire à travers son
histoire et les choix pédagogiques qui sous tendent cet
enseignement. Ou plutôt ces enseignements, la
variété des approches exposées en montrant
fort bien la diversité. Son texte est à la fois
très complet et très long, la version
imprimée faisant entre vingt-cinq et trente pages ce qui
n'est pas mince pour un article concernant les
mathématiques, sujet qui a trop souvent tendance
à faire fuir le public plutôt qu'à
l'attirer. A tort certes, mais qu'y faire ? Continuer à
expliquer sûrement, en gardant l'espoir que les arguments
rationnels l'emportent sur la démagogie, souci que je
partage entièrement avec l'auteur. Et justement,
concernant lesdits arguments, j'aimerais bien revenir sur
quelques points qui ont tendance à passer de moins en
moins bien au fil des lectures que j'ai faites de ce texte.
Commençons
par les points d'accord, ce sont les plus nombreux. Je souscris
globalement à tout ce qui est dit sur l'enseignement de
la division, partie la plus importante puisqu'elle
représente assez exactement les deux tiers du texte. Je
trouve ces réflexions à la fois pertinentes et
salutaires et même si l'on peut toujours argumenter sur
tel ou tel point de détail, je remercie Rémi
Brissiaud d'avoir si clairement et si complètement
exposé le problème. Je suis encore plus en accord
avec l'auteur si c'est possible concernant l'enseignement des
fractions, l'absence de "signification quotient" me paraissant
poser gravement problème pour la suite à
l'école élémentaire et encore plus au
collège, moins toutefois que cet autre interdit encore
plus stupide concernant les entiers relatifs. Qu'il ne soit pas
question de travailler les procédures de calcul, bien
sûr. Que les nombres inférieurs à
zéro n'apparaissent à aucun moment dans les
programmes étant par contre à mon sens une
erreur.
Je suis par
contre assez surpris par la charge finale contre
l'intérêt des situations problèmes et plus
particulièrement des problèmes de recherche, le
point de vue développé étant basé
sur un parallèle entre les programmes de 2002 en
français et en mathématiques, point de vue qui
m'apparaît pour le moins audacieux. Examinons les
arguments avancés dans le paragraphe suivant :
De ce
point de vue, les programmes de 2002 apparaissent très
différents dans ce qu'ils préconisent pour
l'apprentissage de l'écrit et pour celui des
mathématiques. Concernant l'apprentissage de
l'écrit, les programmes de 2002 ont officialisé
une sorte de " recentrage " du discours pédagogique sur
certaines conditions indispensables au progrès (la
conceptualisation des relations grapho-phonologiques, la
fréquentation d'œuvres littéraires,
notamment). Concernant les mathématiques, en revanche,
le discours sur les conditions indispensables à la
conceptualisation de chacune des opérations
arithmétiques perd de sa cohérence dans les
programmes successifs et il tient de moins en moins de place au
profit d'un discours plus général s'attachant
essentiellement à décrire la démarche de
pensée qu'il faudrait favoriser chez les
élèves.
Il est surprenant
pour le moins de parler de recentrage pour les programmes
concernés en français. L'ouverture, vers la
littérature justement, n'ayant jamais été
aussi grande. Elle l'est même tellement que les classes
de cycle 3 dans lesquels on lit dix ouvrages par an sont
très courantes, au moins dans la circonscription et
même dans le département, tous mes
collègues en sont d'accord. Il est extrêmement
rare d'entrer dans une classe du CE2 au CM2 dans laquelle les
élèves seront amenés à lire
seulement cinq ou six ouvrages dans l'année. Au prix et
il faut être lucide quant à ce point, d'une
réduction du temps passé à des exercices
systématiques en orthographe, grammaire et conjugaison.
D'une réduction des exercices systématiques, non
des exigences dans ces domaines, les équipes et y
compris les équipes de circonscription s'attachant
à créer et diffuser des outils plus efficaces
que, par exemple et sans vouloir vexer personne, le Bled ou
assimilé. Je n'ai d'ailleurs jusqu'à
présent guère vu de classe de collège ni
même de lycée (du moins jusqu'en seconde) qui
atteigne cette quantité de lecture. J'ajoute que l'enjeu
n'est pas mince puisqu'il s'agit de permettre aux
élèves, à tous les élèves
justement, d'entrer dans la complexité de la langue
écrite, point probablement plus déterminant pour
la réussite dans le secondaire que les seules
compétences dans le domaine de l'orthographe. Alors par
pitié qu'on ne fasse pas sous prétexte de vouloir
faire réussir tous et chacun de mauvais procès
aux programmes actuels en mathématiques quand ils
montrent, contrairement à ce qui est avancé dans
le texte de Brissiaud, exactement le même souci et la
même démarche en mathématiques, permettre
l'entrée dans la complexité et dans la
compréhension et non seulement l'acquisition de
procédures qui seraient plus souvent fondées sur
des automatismes qu'autre chose.
L'auteur le sait
fort bien au demeurant, toutes les situations d'apprentissage
proposées au fil de l'exposé étant des
situations problèmes justement comme dans l'exemple
suivant :
Ce
jour-là, il est possible d'utiliser une situation
d'anticipation comme la suivante : une collection de 163 cubes
est formée (avec des cubes emboîtables, les
élèves se répartissent le travail, ils
forment 16 barres de 10 cubes et y ajoutent 3 cubes
isolés, avant de mettre l'ensemble dans une boîte
opaque). Le problème est posé : on va
former des groupes de 25 avec ces 163 cubes. Combien peut-on
former de groupes de 25 ? Restera-t-il des cubes isolés
?
C'est moi qui met
en gras et si le problème est posé, justement,
c'est qu'il y a une raison... Elle est simple : c'est comme
ça qu'on apprend ! Dans un problème on peut se
tromper. Et se tromper, il est important de le noter, de
diverses façons. On peut aussi et c'est à la fois
heureux et souhaitable arriver au résultat, en
empruntant là aussi des voies différentes. Cet
apprentissage, s'il est bien conduit, permet d'expliciter les
différentes façons de procéder, seul moyen
possible pour construire une connaissance partagée
véritable. Avant d'aller plus loin dans cette voie qui
est la thèse centrale de l'ouvrage que j'ai écrit
en collaboration avec trois professeurs d'école,
Eureka, des problèmes pour chercher,
allons faire un tour par une très belle analogie dans le
domaine du langage. Elle est décrite par un chercheur,
Pierre Perruchet, dans un article, "Discordes autour de
l'acquisition du langage", paru dans le numéro
spécial de Les dossiers de La Recherche
consacré à la mémoire, article disponible
en ligne à : http://www.u-bourgogne.fr/LEAD/people/perruchet/pdf497Ko.pdf.
La thèse de l'auteur est que l'élaboration de
règles (dans le domaine du langage, nda)
nécessite d'être exposé à des
énoncés faux et présentés comme
tels. Voici le début de l'article :
Lisez
" savant aveugle " à haute voix. Une première
fois sans faire la liaison. Une seconde fois en la faisant de
façon prononcée. Comprenez-vous la même
chose ? Non. Dans le premier cas, vous semblez parler d'un
savant qui se trouve être aveugle ; dans le second cas,
il s'agit d'un aveugle qualifié de savant .Votre
compréhension se conforme là à une
règle de la grammaire française qui ne souffre
aucune exception, formulée ainsi dans la grammaire de
Grevisse : " La liaison ne se fait jamais après la
consonne finale d'un nom au singulier . "
Ce qui rend le phénomène étonnant, c'est
que cette règle, pour aussi clairement formulée
qu'elle soit, ne fait l'objet d'aucun enseignement. Vous ne
l'avez jamais étudiée, vous seriez incapable de
la verbaliser. Autrement dit, vous avez appris à la
respecter, mais de façon implicite.
Il ne s'agit pas
de transposer tel quel ce qui est écrit ici à
l'enseignement des mathématiques, surtout que les
développements qui font le corps de l'article
complexifient considérablement le problème,
néanmoins il serait déraisonnable de jeter en
quelque sorte le bébé avec l'eau du bain. Et le
bébé, j'ai bien peur que ce soit les situations
problème. Situations qui donnent de la chair aux
mathématiques lesquelles ne sauraient s'abstraire d'un
fondement qui ne peut plus se réduire à
l'utilitaire. Si j'ai besoin de faire des calculs j'ai une
calculette... Donc soyons bien clairs sur un point, le calcul
c'est comme la littérature, les sciences ou l'histoire
géographie, ça ne sert à rien. Ou alors
à comprendre le monde, ce qui ne se réduit pas
à l'utilitaire mais ne permet aucunement de se dispenser
de la signification.
Concernant ladite
signification des problèmes pour les
élèves, il serait possible de citer quelques
réflexions de ceux qui ont participé à
l'ouvrage, comme " Un problème c'est quand on a des
ennuis. Ces problèmes là ce ne sont pas des
ennuis, c'est un travail qui nous fait énormément
réfléchir. Tous les élèves de notre
classe adorent ça et on voudrait que tous les enfants de
notre âge découvrent ça. " Ou alors "
Maintenant on sait faire des problèmes. Avant on prenait
tous les nombres de l'énoncé et on faisait des
opérations. Maintenant, on réfléchit avant
de faire les calculs. " Ou encore cette autre d'un enseignant :
" Pour ça, moi je n'ai pas intérêt à
manquer une seule séance de problèmes sinon je
finis au pilori, les ailes étalées comme un
cormoran qui sèche. " Mais enfin on ne peut pas se
contenter de ces arguments, il va falloir en trouver de plus
sérieux. Notons en passant qu'une activité que
les élèves (et les maîtres)
apprécient n'est pas forcément une
activité à fuir à tout prix,
réalité que notre école ferait bien de
considérer avec un peu plus d'attention. Enfin, passons
aux choses sérieuses.
Les objectifs
tout d'abord, quels sont-ils ? On pourrait citer, par exemple :
travailler en mathématiques comme dans le domaine des
sciences : en formulant des hypothèses, en
débattant, en confrontant des points de vue, en validant
des productions. Ou bien mettre en oeuvre des séquences
avec de vrais enjeux qui favorisent les échanges oraux
entre élèves. Ou encore permettre des
fonctionnements intellectuels jusqu'alors
insoupçonnés dans la classe. Ou alors pour
l'élève découvrir le côté "
détective " des mathématiques et le plaisir du
jeu, construire petit à petit un " cahier de recherche.
" Ce qui impose quelques contraintes fortes, comme :
- Des situations problème ni évidentes ni
impossibles.
- Que les élèves puissent jouer, simuler, se
représenter la situation. Cette possibilité
devant leur être proposée, voire montrée
par l'enseignant.
- Qu'ils puissent proposer leur démarche pour en
discuter et ce qu'ils aient ou non abouti au résultat.
Ce qui entraîne l'acceptation des erreurs comme
élément constitutif de l'apprentissage.
- Que toutes les démarches soient débattues
afin que chacun puisse apprendre des autres. Ce qui implique
un réel débat avec des questions posées
par les élèves et non par l'enseignant.
- Qu'à l'issue de ce travail et après avoir
été expliquées une ou plusieurs
démarches soient validées
A ce stade il me
semble important de faire remarquer que ce travail que nous
avons conduit, nous l'avons conduit dans des classes
accueillant une grande proportion d'élèves en
difficulté, réalité attestée par
les résultats observées aux évaluations
CE2 et 6ème dans les écoles et les
collèges du secteur. Et le souci constant, mené
à bien au final, était de permettre à tous
et à chacun non seulement de progresser mais aussi et
surtout d'apprendre et de réussir. Il ne s'agit donc
pas, comme il est écrit dans l'article, de laisser faire
l'implicite dans une démarche finalement
élitiste, bien au contraire. Considérons à
titre d'exemple le problème suivant :
Alain a des billes, Claire en a deux fois plus et Bernard
quatre fois plus. En tout ils en ont 91. Combien en
ont-ils chacun ?
Voici trois
productions d'élèves face à cette
situation :
Sans rentrer dans
le détail du travail, on voit facilement que les chemins
suivis par les trois groupes considérés sont
différents. Ce n'est pas non plus parce que trois
groupes ont la même solution qu'elle est forcément
exacte. Lors du débat qui suit la confrontation des
productions, les élèves sont invités
à vérifier ce résultat. Et comme la classe
est maintenant face à une solution et trois
démarches, doit-on toutes les retenir ou l'une d'elles
semble-t-elle plus efficace et plus fiable ? Sans
hésiter, les élèves choisissent la
production "du bonhomme" (figure 1). C'est celle-ci qui sera
retenue comme validation. J'insiste particulièrement sur
la phase de débat, qui est organisé en
mathématiques comme en littérature, à la
différence qu'ici à la fin il s'agit aussi de
prouver... Défendre un point de vue appuyé sur
des arguments rationnels ne me parait pas de peu
d'intérêt, surtout par les temps qui courent, et
qui ont tendance à courir, comme le note justement
Brissiaud, hors de toute rationalité. C'est pourquoi, si
je partage sur beaucoup de points ses idées quant
à l'enseignement des mathématiques, je pense
qu'il nous faut tous être attentifs dans le débat
à bien considérer tous les points de vue,
fussent-ils au départ un peu éloignés de
nos champs de pensée habituels. L'objectif est bien
d'éviter les voies sans issue en développant nos
arguments, non pas de fermer des portes en n'en gardant qu'une
seule.
David Lefebvre
Inspecteur de l'éducation nationale
Dernier ouvrage publié :
Eurêka, des problèmes pour chercher - cycle
3 - éds MDI janvier 2006
Page publiée le 20-06-2006
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